有研究高等数学的小伙伴们应该都知道“上帝公式”吧。那是瑞士数学家欧拉发现的公式，它的一般形式是e^(iπ)=-1. 这个公式在自然常数e, 虚数单位i, 圆周率π和实数单位1之间，构造了一种联系。老黄在高数探究中，无意间也发现了一个数学公式，这个公式与“上帝公式”有直接的联系，因此老黄就称它为上帝的“私生子”公式。

(资料图片仅供参考)

那是老黄在探究第二类基本分式的“两个儿子”的复变公式过程中推导得到的一个复变函数公式。复变函数方面的内容，老黄还从来没有接触过。但是数学是相通的，就算老黄完全没有接触过的数学知识，通过对目前的知识的探究，也一样可以把它挖掘出来的。

下图列举的是第二类基本分式的“小儿子”的三个公式。前两个是实数范围内的公式，最后一个是复变函数形式的公式。

最后两个公式，除了首项，后面的求和公式部分是完全一样的。因此不难发现，首项约分后，剩余部分的导数是相等的。因此它们相差一个常数。所以可以猜想他们是相等的。下面是证明它们相等的过程。

到这里都有限定参数a>0，而特别地，当a=1时，又可以得到一个公式的特殊形式。正是这个形式，和“上帝公式”产生直接的关联的。下面是对两者的关系的探究过程。

既然“小儿子”不定积分有复变公式，那么“大儿子”肯定也会有复变公式。下面是对大儿子的复变公式的一个探究过程。

接下来用两道例题检验一下这个复变公式。

例1：求∫dx/(x^2+4)^3 .

例2：求∫dx/(x^2+4)^2 .

推导的过程并没有问题，仅担心由于正负i的平方都等于-1，由此产生错误。只要分母奇数幂的实例，和偶数幂的实例都不造成符号上的问题，那么这个公式就是正确的了。

将“大儿子”的实数公式和复变公式进行对比，与“小儿子”同理，也可以得到另外一个复变公式。

下面是对第二个复变公式的证明过程：

两个公式其实是一致的，通过拓展，可以发现，只要a不等于0，上帝的“私生子”公式（只是一个名字，为了喊起来方便罢了）都是成立的。

而只要用x/根号a代替公式中的x，并对公式进行变形，就可以得到一个与a无关的，纯正的“私生子”公式。

事实上，由于公式是在复数范围内的。所以公式最终形式中的绝对值符号，是可以去掉的。由于老黄没有探究过复变函数方面的内容。所以这已经是老黄所能推导的极限了。当然，代入不同的数值，还可以推出很多东西来，但没有实质的区别，等以后老黄探究到复变函数方面的知识时，再为大家继续深入分析吧。

很可惜，这个公式目前已经存在了。否则老黄是不是就能成功了呢？关键不是公式本身，而是探究数学的精神。天可怜见，老黄总有一天会成功的！